历年高考焦点三角形题库-焦点三角形高考真题

双曲线中焦点三角形常用结论？

与椭圆一样，双曲线的焦点三角形有很多结论，是解题的重要工具，比较常用的有：

（1）设顶角为α，则面积为b^2cot（α/2）。

（2）若顶点P在右支，则两个焦点半径分别为ex±a。

（3）焦点三角形内切圆圆心的横坐标是定值±a（看顶点P在左支还是右支）。

（4）若一条边垂直于实轴，则它的长度为b^2/a（通径的一半）。

三角形各中线焦点有什么？

三角形三边中线的交点是三角形重心。

三角形重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

扩展资料：

三角形五心歌（重外垂内旁）

三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混。

重心

三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了。

重心分割中线段，数段之比听分晓， 长短之比二比一，灵活运用掌握好。

外心

三角形有六元素，三个内角有三边，作三边的中垂线，三线相交共一点。

此点定义为外心，用它可作外接圆，内心外心莫记混，内切外接是关键。

垂心

三角形上作三高，三高必于垂心交，高线分割三角形，出现直角三对整。

直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.。

内心

三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源。

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然。

设P为椭圆上的任意一点P（不与焦点共线）。

∠F2F1P=α，∠F1F2P=β，∠F1PF2=θ。

则有离心率e=sin(α＋β）／（sinα＋sinβ）。

焦点三角形面积S=b²·tan(θ／2)。

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P（不与焦点共线）为顶点组成的三角形。椭圆的焦点三角形性质为：

（1）｜PF1|+|PF2|=2a。

（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ。

（3）周长＝2a+2c。

（4）面积＝S=b²·tan(θ／2)（∠F1PF2=θ）。

为什么焦点三角形在y轴的时候角最大？

椭圆的焦点三角形面积公式S=b^2tan（α/2)

所以面积越大α就越大

当顶点在短轴上时面积最大（底乘以高最大），角最大

先给出一个直观理焦点显然在x轴上

显然P在x轴上方与下方情况一样(对称)

利用运动观点：让P从A运动到B,则∠APB的变化是从0增大再减小到0,由对称性,中间时最大,此时P在y轴上.

证明方法很多,

(1)把P的坐标用参数来表示即可(2)用余弦定理证明也可

(3)课本上有例题,A、B为椭圆顶点,则kAP·kBP=-m/m+1,即(记)tan∠PAB·tan∠PBA=k1·k2=m/m+1=定值

tan∠APB=-tan(∠PAB+∠PBA)=-(k1+k2)/(1-k1·k2),分子由基本不等式,可知,当k1=k2时∠APB最大,此时PA=PB,所以P在AB的中垂线上,即y轴上

椭圆的焦点三角形周长公式？

a为椭圆长半轴，e为椭圆的离心率

椭圆周长理论公式是存在的不过它不能用初等函数表示，它是一个与离心率有关的无穷收敛级数，本公式已经把正圆周长纳入其中，在某种意义上讲正圆是特殊的椭圆，也就是说正圆是长短轴相等的椭圆。

公式推导是要利用到曲线长度积分，同时关键的一步是，要把椭圆积分利用牛顿二项式定理展开为以sinθ 为变量的级数再通过积分求解。