函数周期性高考题库_函数周期性高考真题

函数的周期性典型例题讲解？

函数的周期性是指函数在一定范围内，随着自变量的增加，函数值有规律地重复出现。下面通过两个典型例题来讲解函数的周期性。

例题1： 已知函数f(x) = 2cos(x)(sin(x) - cos(x)), x ∈ R。求函数f(x)的最小正周期。

解： 首先，将函数f(x)进行化简： f(x) = 2cos(x)(sin(x) - cos(x)) = 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = sin(2x) - cos(2x) - 1 = √2sin(2x - π/4) - 1

由此可知，函数f(x)的周期为T = 2π/2 = π。

例题2： 已知函数f(x) = [1 - f(x)] / [1 + f(x)], x ∈ D。求函数f(x)的周期。

解： 根据题意，有f(x) = [1 - f(x)] / [1 + f(x)]，我们可以得到f(x) = f(x) - 1。进一步化简得到f(x) + f(x) = 1，即f(x) = 1/2。

因此，对于任意x ∈ D，有f(x) = 1/2。所以函数f(x)是一个常数函数，其周期为T = 0。

通过这两个例题，我们可以看出，函数的周期性是指函数在一定范围内，随着自变量的增加，函数值有规律地重复出现。在求解函数周期时，需要根据函数的表达式进行化简和计算，以确定函数的周期。

一次函数周期性？

一次函数也包括形如

y=b

之类的函数。

这样的函数图像是与横轴平行的直线（或者是横轴）。任意非零实数都可以当做它的周期。

所以y=b它是周期函数。

函数的周期性求法？

呈周期变化的函数，其周期的求法是根据周期函数的定义，设法找到一个常数c使f(x+c)=f(x)如：奇函数f(x)满足f(2+x)= - f(2-x)求函数的周期：因为f(2+x)= - f(2-x)= - [-f(x-2)]=f(x-2)f(x+4)=f[(2+(x+2)]=f[(x+2)-2]=f(x)所以函数f(x)是 以4为周期的周期函数

什么情况下谈函数的周期性？

函数的周期性定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。

当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现。

假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期。

说明

1.概念的提出：将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。

出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.

2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)

概念的具体化：

当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。

T=2kπ(k∈Z且k≠0)

所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)

展示正、余弦函数的图象。

周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）

强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”

令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2

所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0

所以T=0或T=-2x

强调定义中的“非零”和“常数”。

例:三角函数sin(x+T)=sinx

3. 最小正周期的概念：

对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。

对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）

在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。

4.例：求下列函数的周期：

（1）y=3cosx

分析：cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。）

（2）y=sin(x+π/4)

分析略，说明在x后面的角也不影响周期。

（3）y=sin2x

分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。）